Math

Karmaşık fonksiyonlar · w = f(z)

Bölge renklendirme

Bölge renklendirme, her z noktasını f(z) değerine karşılık gelen renkle boyayarak karmaşık fonksiyonu gösterir. Renk tonu argümanı, parlaklık modülü belirtir.

Bu görselleştirmede bölge renklendirme

Karmaşık fonksiyon w=f(z)w = f(z), bir düzlemdeki noktayı başka bir düzlemdeki noktaya götürür; grafiği için dört boyut gerekir. Bölge renklendirme yalnızca zz düzlemini tutar ve her noktayı f(z)f(z) değerinin rengine boyar. Renk tonu argümandır: varsayılan renk çemberinde pozitif gerçek sayılar kırmızıdır; açı bir tur döndüğünde renkler de çemberi bir kez dolaşır. Parlaklık modüldür: 0 yakınındaki değerler koyu, modülü 1 yakınında olanlar çemberin asıl renklerinde, büyük değerler açıktır. Küçük görüntü açıklama anahtarıdır: ww düzlemi bir diske sıkıştırılır; her nokta kendi rengindedir, merkezde 0, kenarda ∞ vardır.

Sıfır, tüm renklerin koyu bir noktada; kutup ise açık bir noktada birleştiği yerdir. mm mertebeli aa sıfırının yakınında fonksiyon c (z−a)mc\,(z-a)^m gibi davranır; dolayısıyla argümanı yaklaşık arg⁡c+marg⁡(z−a)\arg c + m\arg(z-a) olur. Yalnızca aa noktasını içeren küçük bir çember saat yönünün tersine bir kez dolaşıldığında renkler kendi sıralarıyla mm tur atar. nn mertebeli kutup yakınında fonksiyon c (z−b)−nc\,(z-b)^{-n} gibidir; renkler ters yönde nn tur atar.

Kırmızı tuş çemberi bir kez dolaşır ve rengin ileri yöndeki turlarından geri yöndekileri çıkararak sayar. Rasyonel fonksiyon için

f(z)=c (z−a1)m1⋯(z−b1)n1⋯,arg⁡f=arg⁡c+∑miarg⁡(z−ai)−∑njarg⁡(z−bj).f(z) = c\,\frac{(z-a_1)^{m_1}\cdots}{(z-b_1)^{n_1}\cdots},\qquad \arg f = \arg c + \sum m_i \arg(z-a_i) - \sum n_j \arg(z-b_j).

Sayılar çarpıldığında argümanları toplanır. Çember boyunca her arg⁡(z−a)\arg(z-a), aa içerideyse tam bir tur kazanır; aa dışarıdaysa başlangıç değerine döner. Böylece rengin tur sayısı, içerideki sıfırların sayısı eksi kutupların sayısıdır; her biri mertebesiyle sayılır. Bu, argüman ilkesidir. İçerideki kutuplar dışında çemberin içinde ve üzerinde analitik olan, çemberin üzerinde sıfırı veya kutbu bulunmayan her fonksiyon için geçerlidir. İçerideki bir sıfır ve bir kutup birlikte net sıfır tur verir.

Dikkat edilecekler

  • e1/ze^{1/z}, 0 noktasında ne sıfır ne de kutup olan bir esas tekilliğe sahiptir. Yakınında iki uç dışındaki her renk sonsuz kez görünür; argüman ilkesi uygulanamaz.
  • Dal seçilen z\sqrt z veya log⁡z\log z gibi bir fonksiyonun kesiti boyunca renk sıçrayabilir. Buradaki fonksiyonlar tek değerlidir ve tekillikleri dışında süreklidir; dolayısıyla dal kesitleri yoktur. Renkler sıfır ve kutuplarda birleşir, esas tekillik yakınında giderek sıklaşarak tekrarlanır.
  • Faz çizgileri açıkken, ff sonlu ve sıfırdan farklıysa ve f′≠0f' \ne 0 koşulu sağlanıyorsa modül halkalarını dik açıyla keserler. İki aile, log⁡f\log f ifadesinin gerçek ve sanal kısımlarının seviye eğrileridir. Kritik noktada bu ağ dejenere olur.

İlgili kavramlar

Ek okumalar: Vikipedi: Domain coloring (İngilizce); Elias Wegert, Gunter Semmler, “Phase Plots of Complex Functions: A Journey in Illustration”, Notices of the AMS 58(6), 768–780 (2011) (İngilizce).