Раскраска области определения

Комплексная функция $w = f(z)$ переводит точку одной плоскости в точку другой, поэтому для её графика нужны четыре измерения. Раскраска области определения оставляет только плоскость $z$ и окрашивает каждую точку по значению $f(z)$. Оттенок показывает аргумент: в стандартном цветовом круге положительные вещественные числа красные; за полный оборот угла цвета проходят круг один раз. Яркость показывает модуль: значения вблизи 0 тёмные, значения с модулем около 1 имеют цвета круга, большие значения светлые. Малое изображение служит легендой: плоскость $w$ сжата в диск, каждая точка своего цвета, 0 в центре и ∞ на краю.

Нуль — тёмная точка, в которой сходятся все цвета, полюс — светлая. Вблизи нуля $a$ порядка $m$ функция ведёт себя как $c\,(z-a)^m$, поэтому её аргумент примерно равен $\arg c + m\arg(z-a)$. За один обход против часовой стрелки по малой окружности, содержащей только $a$, цвета проходят круг $m$ раз в его порядке. Вблизи полюса порядка $n$ функция подобна $c\,(z-b)^{-n}$, и цвета проходят $n$ оборотов в обратном направлении.

Красная клавиша обходит окружность один раз и считает обороты цвета: прямые минус обратные. Для рациональной функции

При умножении чисел аргументы складываются. При обходе окружности каждый $\arg(z-a)$ увеличивается на полный оборот, если $a$ внутри, и возвращается к исходному значению, если $a$ снаружи. Число оборотов цвета равно числу нулей внутри минус число полюсов внутри, с учётом их порядков. Это принцип аргумента. Он верен для функции, аналитической внутри и на окружности, кроме полюсов внутри, при отсутствии нулей и полюсов на самой окружности. Один нуль и один полюс внутри вместе дают ноль оборотов.