ドメインカラーリング

複素関数$w = f(z)$は、ある平面の点を別の平面の点に移すので、そのグラフには4次元が必要です。ドメインカラーリングでは$z$の平面だけを残し、各点を値$f(z)$に対応する色で塗ります。色相が表すのは偏角です。既定の色環では正の実数が赤で、角度が一周すると色も色環を一周します。明るさは絶対値を表し、0に近い値は暗く、絶対値が1に近い値は色環の色、大きな値は明るくなります。小さい図がその対応表です。$w$平面を円盤に圧縮し、各点をその点自身の色で塗っています。中心が0、縁が∞です。

零点ではすべての色が暗い点に集まり、極では明るい点に集まります。$m$重零点$a$の近くでは関数は$c\,(z-a)^m$のように振る舞い、偏角はおよそ$\arg c + m\arg(z-a)$になります。$a$だけを囲む小さな円を反時計回りに一周すると、色は色環の順に$m$周します。$n$位の極の近くでは関数は$c\,(z-b)^{-n}$のようになり、色は逆向きに$n$周します。

赤いキーは円を一周し、色の回転数を順向きから逆向きを引いて数えます。有理関数では

数を掛けると偏角は足し算になります。円を一周すると、各$\arg(z-a)$は$a$が内部ならちょうど一周分増え、$a$が外部なら元の値に戻ります。したがって色の回転数は、内部の零点の数から極の数を引いたものです。いずれも重複度を数えます。これが偏角の原理です。円の内部の極を除いて、円の内部と円周上で正則で、円周上に零点も極もない関数に成り立ちます。内部の零点と極が1つずつなら、正味の回転数は0です。