Трапеция

Трапеция (в британском английском обычно trapezium) — четырёхугольник хотя бы с одной парой параллельных сторон. Они называются основаниями $a$ и $b$, две другие — боковыми сторонами, а расстояние между основаниями — высотой $h$. На рисунке основания лежат на двух параллельных прямых, поэтому любая полученная фигура — трапеция, пока верхнее основание больше 0 (при $a = 0$ она превращается в треугольник). Индикатор называет и более узкие классы, к которым принадлежит фигура, и вычисляет площадь.

По принятому здесь определению — да. У параллелограмма две пары параллельных сторон, значит, хотя бы одна есть; так же у прямоугольников, ромбов и квадратов. Другое распространённое определение требует ровно одну пару и исключает параллелограмм. Здесь используется «хотя бы одна»: доказанное для трапеций тогда верно и для параллелограммов без отдельного случая. Формула площади и средняя линия $(a + b)/2$ дают верные значения и при $a = b$.

У равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны, поэтому равны боковые стороны и диагонали. Одного равенства боковых сторон недостаточно: у наклонного параллелограмма они равны, но он не равнобедренная трапеция, а прямоугольник — да. У прямоугольной трапеции одна боковая сторона перпендикулярна основаниям; она и есть высота.

Три доказательства на красной клавише перестраивают трапецию в фигуры с известной площадью. Две копии, одна повёрнута на пол-оборота вокруг середины боковой стороны, образуют параллелограмм с основанием $a + b$ и высотой $h$; трапеция занимает половину. Диагональ делит её на два треугольника высоты $h$ с основаниями $a$ и $b$. Разрез по средней линии и поворот верхней части дают параллелограмм с основанием $a + b$ и высотой $h/2$.

При $a = b$ фигура — параллелограмм, по определению этой страницы всё ещё трапеция, а формула даёт его площадь $bh$. При $a = 0$ верхнее основание стягивается в точку: формула даёт $bh/2$, площадь треугольника. Но треугольник не четырёхугольник, так что здесь семейство трапеций заканчивается, а не пополняется новым видом. Сдвиг верхнего основания вдоль его прямой не меняет основания и высоту: площадь сохраняется при любом наклоне, даже когда высота проходит вне фигуры.