Trapèze

Un trapèze (généralement appelé trapezium en anglais britannique) est un quadrilatère ayant au moins une paire de côtés parallèles. Ces côtés sont ses bases $a$ et $b$, les deux autres ses côtés latéraux ; la distance entre les bases est sa hauteur $h$. L’image maintient les bases sur deux droites parallèles : chaque figure créée est donc un trapèze tant que la base supérieure dépasse 0 (pour $a = 0$, elle devient un triangle). L’affichage nomme les catégories plus précises auxquelles elle appartient et calcule son aire.

Oui, avec la définition retenue ici. Un parallélogramme a deux paires de côtés parallèles, donc au moins une ; de même pour les rectangles, losanges et carrés. Une autre définition courante exige exactement une paire et exclut alors le parallélogramme. Ici, « au moins une » permet d’appliquer les preuves sur les trapèzes aux parallélogrammes sans cas supplémentaire. La formule d’aire et la médiane $(a + b)/2$ donnent encore les bonnes valeurs lorsque $a = b$.

Un trapèze isocèle a des angles égaux à chaque base, donc des côtés latéraux et des diagonales de même longueur. L’égalité des côtés latéraux ne suffit pas : un parallélogramme oblique la vérifie sans être isocèle, alors qu’un rectangle l’est. Un trapèze rectangle a un côté latéral perpendiculaire aux bases ; ce côté est la hauteur.

Les trois preuves de la touche rouge réassemblent le trapèze en figures d’aire connue. Deux copies, dont l’une tourne d’un demi-tour autour du milieu d’un côté latéral, forment un parallélogramme de base $a + b$ et de hauteur $h$ ; le trapèze en est la moitié. Une diagonale le coupe en deux triangles de hauteur $h$, l’un de base $a$, l’autre de base $b$. Couper suivant la médiane et tourner la partie supérieure donne un parallélogramme de base $a + b$ et de hauteur $h/2$.

Avec $a = b$, la figure est un parallélogramme, toujours un trapèze selon la définition de cette page, et la formule donne son aire $bh$. Avec $a = 0$, la base supérieure se réduit à un point : la formule donne $bh/2$, l’aire du triangle, mais un triangle n’est pas un quadrilatère. C’est la limite des trapèzes, pas un type supplémentaire. Faire glisser la base supérieure sur sa droite ne change ni les bases ni la hauteur : l’aire reste la même, quelle que soit l’inclinaison, même lorsque la hauteur tombe hors de la figure.