台形

台形（イギリス英語では通常 trapezium）は、少なくとも1組の辺が平行な四角形です。平行な2辺を底辺 $a$、$b$、残りの2辺を脚、底辺の間の距離を高さ $h$ と呼びます。図では底辺を2本の平行線上に保つので、上底が 0 より長ければ常に台形です（$a = 0$ では三角形になります）。表示部には、さらに細かな図形の種類と面積が示されます。

このページの定義では、そうです。平行四辺形には平行な辺が2組あるので、少なくとも1組あります。長方形、ひし形、正方形も同様です。一方、ちょうど1組だけを求める定義もあり、その場合は平行四辺形を台形に含めません。ここでは「少なくとも1組」とすることで、台形についての証明が平行四辺形にもそのまま成り立ちます。$a = b$ のときも面積の公式と中点連結線 $(a + b)/2$ は正しい値を与えます。

等脚台形は、各底辺の両端の角が等しい台形で、脚と対角線の長さもそれぞれ等しくなります。脚が等しいだけでは不十分です。傾いた平行四辺形もそうですが等脚台形ではなく、長方形は等脚台形です。直角台形では一方の脚が底辺に垂直で、その脚が高さになります。

赤いキーで見る3つの証明は、台形を面積の分かる図形に組み替えます。合同な台形の一方を脚の中点の周りに半回転すると、底辺 $a + b$、高さ $h$ の平行四辺形になり、台形の面積はその半分です。対角線で切ると、高さ $h$、底辺がそれぞれ $a$ と $b$ の三角形になります。中点連結線で切って上の部分を回すと、底辺 $a + b$、高さ $h/2$ の平行四辺形になります。

$a = b$ では平行四辺形になり、このページの定義では台形のままで、公式はその面積 $bh$ を与えます。$a = 0$ では上底が1点になり、公式は三角形の面積 $bh/2$ を与えますが、三角形は四角形ではありません。台形の新たな種類ではなく、台形の仲間が終わる境目です。上底を同じ直線上でずらしても両底辺と高さは変わらず、高さが図形の外側に来ても、どれだけ傾いても面積は同じです。