Trapez

Ein Trapez (im britischen Englisch meist trapezium) ist ein Viereck mit mindestens einem Paar paralleler Seiten. Die parallelen Seiten sind seine Grundseiten $a$ und $b$, die anderen beiden seine Schenkel; der Abstand zwischen den Grundseiten ist die Höhe $h$. Im Bild liegen die Grundseiten auf zwei parallelen Geraden. Jede erzeugte Figur ist daher ein Trapez, solange die obere Grundseite länger als 0 ist (bei $a = 0$ wird sie zum Dreieck). Die Anzeige nennt auch die spezielleren Figurenklassen und berechnet die Fläche.

Nach der hier verwendeten Definition ja. Ein Parallelogramm hat zwei Paare paralleler Seiten, also jedenfalls eines; ebenso Rechtecke, Rauten und Quadrate. Eine andere gebräuchliche Definition verlangt genau ein Paar; dann ist ein Parallelogramm kein Trapez. Hier gilt „mindestens ein Paar“: Beweise für Trapeze gelten dadurch ohne gesonderten Fall auch für Parallelogramme. Flächenformel und Mittellinie $(a + b)/2$ liefern auch bei $a = b$ die richtigen Werte.

Ein gleichschenkliges Trapez hat an jeder Grundseite gleiche Winkel und damit gleich lange Schenkel und Diagonalen. Gleiche Schenkellängen allein reichen nicht: Ein schiefes Parallelogramm erfüllt dies, ist aber nicht gleichschenklig; ein Rechteck dagegen schon. Ein rechtwinkliges Trapez hat einen Schenkel senkrecht zu den Grundseiten; dieser ist zugleich die Höhe.

Die drei Beweise an der roten Taste setzen das Trapez zu Figuren mit bekannter Fläche um. Zwei Kopien, eine um den Mittelpunkt eines Schenkels um eine halbe Umdrehung gedreht, bilden ein Parallelogramm mit Grundseite $a + b$ und Höhe $h$; das Trapez ist die Hälfte. Eine Diagonale teilt es in zwei Dreiecke der Höhe $h$ mit den Grundseiten $a$ und $b$. Schneiden an der Mittellinie und Drehen des oberen Stücks ergibt ein Parallelogramm mit Grundseite $a + b$ und Höhe $h/2$.

Bei $a = b$ ist die Figur ein Parallelogramm und nach der Definition dieser Seite weiterhin ein Trapez; die Formel liefert seine Fläche $bh$. Bei $a = 0$ ist die obere Grundseite zu einem Punkt geschrumpft: Die Formel liefert die Dreiecksfläche $bh/2$, doch ein Dreieck ist kein Viereck. Hier endet also die Familie der Trapeze, statt einen weiteren Typ zu erhalten. Das Verschieben der oberen Grundseite auf ihrer Geraden ändert weder Grundseiten noch Höhe. Die Fläche bleibt gleich, selbst wenn die Höhe außerhalb der Figur liegt.