사다리꼴

사다리꼴(영국 영어에서는 보통 trapezium)은 적어도 한 쌍의 변이 평행한 사각형입니다. 평행한 두 변 $a$, $b$은 밑변, 나머지 두 변은 옆변, 두 밑변 사이의 거리는 높이 $h$입니다. 그림에서 밑변은 두 평행선 위에 있으므로 윗변이 0보다 길면 항상 사다리꼴입니다($a = 0$이면 삼각형이 됩니다). 표시부는 도형이 속하는 더 구체적인 종류와 넓이를 보여 줍니다.

여기에서 사용하는 정의로는 그렇습니다. 평행사변형에는 평행한 변이 두 쌍 있으므로 적어도 한 쌍이 있습니다. 직사각형, 마름모, 정사각형도 마찬가지입니다. 정확히 한 쌍만을 요구하는 정의도 쓰이며, 그 경우 평행사변형은 사다리꼴이 아닙니다. 이 페이지는 ‘적어도 한 쌍’을 사용하므로 사다리꼴의 증명을 평행사변형에도 별도의 경우 없이 적용할 수 있습니다. $a = b$일 때도 넓이 공식과 중점연결선 $(a + b)/2$은 올바른 값을 줍니다.

등변사다리꼴은 각 밑변의 양 끝 각이 같으므로 옆변과 대각선의 길이도 각각 같습니다. 옆변 길이가 같은 것만으로는 부족합니다. 기울어진 평행사변형도 그렇지만 등변사다리꼴은 아니고, 직사각형은 등변사다리꼴입니다. 직각사다리꼴은 한 옆변이 밑변에 수직이며, 그 옆변이 높이입니다.

빨간 키의 세 증명은 사다리꼴을 넓이가 알려진 도형으로 재배치합니다. 합동인 사다리꼴 중 하나를 옆변의 중점 중심으로 반 바퀴 돌리면 밑변 $a + b$, 높이 $h$인 평행사변형이 되고, 사다리꼴은 그 절반입니다. 대각선으로 자르면 높이 $h$, 밑변이 각각 $a$, $b$인 두 삼각형이 됩니다. 중점연결선을 따라 잘라 윗부분을 돌리면 밑변 $a + b$, 높이 $h/2$인 평행사변형이 됩니다.

$a = b$이면 평행사변형이 되며, 이 페이지의 정의에서는 여전히 사다리꼴이고 공식은 그 넓이 $bh$을 줍니다. $a = 0$이면 윗변이 한 점으로 줄어들어 공식은 삼각형의 넓이 $bh/2$을 줍니다. 그러나 삼각형은 사각형이 아니므로 이것은 또 다른 사다리꼴의 종류가 아니라 사다리꼴의 경계입니다. 윗변을 같은 직선 위로 옮겨도 두 밑변과 높이는 변하지 않습니다. 높이가 도형 밖에 있어도, 아무리 기울어져도 넓이는 같습니다.